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梯度下降法（或者其改进算法）是机器学习的基础算法之一。在了解梯度下降算法的过程中，会经常看到一句话：“梯度是函数在某一点变化率最大的方向”。本文从较为严格数学证明的角度说明为什么是这样。理解这个证明过程，可以很好的理解梯度下降算法，及其优化算法或者优化方向。

本文主要考虑二元函数场景，即 \(z=f(x,y) \)。原因是一元函数场景过于简单，不具有代表性，另外，二元场景向多元场景推广也还比较好理解。

1. 基本概念

1.1 偏导数

偏导数的定义比较好理解，即固定一个变量（当做常数），对另一个变量求导，记作：

$$ \frac{\partial z}{\partial x} \; , \; \frac{\partial z}{\partial y} $$

1.2 梯度向量

由各个偏导数组成的向量，就叫梯度向量，通常记作：\( \nabla \)，有：

$$ \nabla f = (\frac{\partial z}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial y} ) $$

多元/多维场景，则常记作：

$$ \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1} , \frac{\partial f}{\partial x_2} … , \frac{\partial f}{\partial x_n} ) $$

1.3 方向导数

多元函数没有简单的“导数”的概念。但为了研究多元函数在某点的变化率，我们可以考虑“方向导数”。

具体的，考虑函数 \( z = f(x,y) \)，该函数定义域为\( \mathbb{R}^2 \)，其方向向量是 $$ \{ u,v | u^2 +v^2 = 1 \} $$，取其中的一个方向 \( l = (u_0,v_0) \)，并假设该方向与\( x \)轴正方向夹角为\( \theta \)。

那么，函数\( z = f(x,y) \)在点\( (x_0,y_0) \)处，在方向 \( l = (u_0,v_0) \)的导数记作

$$ \frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} $$

可以到如下结论（详细证明参考后续小节“方向导数的计算与证明”），如果方向\( l = (u_0,v_0) \)与 \( x \)轴的夹角是\( \theta \)，那么\( z = f(x,y) \)在点\( (x_0,y_0) \)处，在方向 \( l = (u_0,v_0) \)的导数取值如下：

$$ \frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)} cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)} sin(\theta) \tag{1} $$

根据柯西不等式，我们有如下结论：

$$ \frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)} cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)} sin(\theta)
\\
\le \sqrt{ ((\frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)})^2)(sin^2(\theta)+cos^2(\theta)) }
\\
= \sqrt{ (\frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)})^2 }
$$

上面表示的极值 \( \sqrt{ (\frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)})^2 } \) 正是偏导数向量的“范数”（长度），根据柯西不等式取最大值的条件也有：

$$
\frac{cos(\theta)}{\frac{\partial z}{\partial x}} = \frac{sin(\theta)}{\frac{\partial z}{\partial y}}
\\
tan(\theta) = \frac{\frac{\partial z}{\partial y} } { \frac{\partial z}{\partial x} } = \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$

所以，即，即当方向恰好为偏导数向量时，方向导数取最大值。也就是，我们经常会说的，会看到的，“偏导数向量是所有方向中最为陡峭的方向”或者说“梯度是函数在某一点变化率最大的方向”。

3. 方向导数的计算与证明

在前面，我们是直接给出了如下的结论的：

$$ \frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial z}{\partial x} |_{(x_0,y_0)} sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} |_{(x_0,y_0)} cos(\theta)$$

这个结论的获得，是需要有一些比较复杂的计算或者说证明的。这里，其主要证明步骤/方法之一，如下：

\( \frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} = \lim\limits_{P->P_0}\frac{f(P)-f(P_0)}{|P-P_0|} = \lim\limits_{P->P_0}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}}
\)

由拉格朗日中值定理：存在\( \alpha \; \beta \)，使得下式成立，且 \( 0 \le \alpha \le 1 \; and \; 0 \le \beta \le 1 \)：

\(
f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)
\\
= [f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) – f(x_0,y_0+\Delta{y})] + [f(x_0,y_0+\Delta{y}) -f(x_0,y_0)]
\\
= f_x'(x_0 + \alpha\Delta{x} ,y_0+\Delta{y})\Delta{x} + f_y'(x_0, y_0 + \beta\Delta{y} )\Delta{y}
\)

容易有，这几个条件是等价的： \( P \to P_0 \)、\( \Delta{x} \to 0 \, and \, \Delta{y} \to 0 \) 、\( \sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2} \to 0 \)

考虑\( \frac{\partial z}{\partial x} \)在\( (x_0,y_0)\)处连续（这是一个条件），则有： $$ \lim\limits_{\Delta{x} \to 0 \\ \Delta {y} \to 0 }f_x'(x_0 + \alpha\Delta{x} ,y_0+\Delta{y}) = f_x'(x_0,y_0) $$

故：

$$
\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial l} |_{(x_0,y_0)} & = \lim\limits_{P->P_0}\frac{f(P)-f(P_0)}{|P-P_0|}
\\
& = \lim\limits_{P->P_0}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}}
\\
& =\lim\limits_{P->P_0}\frac{f_x'(x_0+\alpha\Delta{x},y_0+\Delta{y})\Delta{x} + f_y'(x_0,y_0+\Delta{y})\Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}}
\\
& =\lim\limits_{P->P_0}\frac{f_x'(x_0+\alpha\Delta{x},y_0+\Delta{y})\Delta{x}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}} + \frac{f_y'(x_0,y_0+\Delta{y})\Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}}
\end{align}
$$

根据上面的图2，容易有：

$$
\frac{\Delta{x}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}} = cos(\theta) \quad \frac{\Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}} = sin(\theta)
$$

所以：

\( =\lim\limits_{P->P_0}\frac{f_x'(x_0+\alpha\Delta{x},y_0+\Delta{y})\Delta{x}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}} + \frac{f_y'(x_0,y_0+\Delta{y})\Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}}
\\
=f_x'(x_0,y_0)cos(\theta) + f_y'(x_0,y_0)sin(\theta)
\\
\)

好了，这就证明完成了。

4. 关于上述证明

上述证明，在一般的《数学分析》教程的“多元函数微分”相关章节都会有，或者会有类似的问题证明。过程还是比较巧妙的，先是“无中生有”新增了一个项（\( f(x_0,y_0+\Delta{y}) \)），分别构造了关于 \( x \)和\( y \)的偏导数，然后使用了“中值定理”，将差值变成，导数和微分变量的积（准确的说，还要加上一个关于\( \rho \)的高阶无穷小）。

5. 向量形式化表达

使用向量形式化表达，看起来会简洁很多。对于方向向量（这也是一个单位向量） \( \mathbf{l} = (u,v)\)，函数\( f \)的偏导数向量记为\( \nabla f = (\frac{\partial z}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial y} ) \) ，那么方向导数为 \( D_{\mathbf{l}}f(P_0) = \nabla f \cdot \mathbf{l} \) ，这与上面表达式的意义是相同的。

根据点击的性质，我们有：

\( D_{\mathbf{l}}f(P_0) = \nabla f \cdot \mathbf{l} = ||\nabla f|| ||\mathbf{l} || cos\theta = ||\nabla f|| cos\theta \)

从这里，更容易看出，方向向量与梯度向量相同时，方向导数取最大值，最大值即为梯度向量的模。

6. 多维场景扩展

在很多的材料中，在前面的表达式中，经常会看到的是 \( cos(\alpha) \; cos(\beta) \)，而不是本文中的 \( sin(\theta) \; cos(\theta) \)。这里的 \( \alpha \)是方向向量与x轴正方向的夹角， \( \beta \)是方向向量与y轴正方向的夹角；在定义域 \( \mathbb{R}^2 \)上有：\( \alpha + \beta = 90^{\circ} \)，即有 \( cos^2\alpha + cos^2\beta = 1 \)。

这种写法有着更好的扩展性，当在更多元的情况下，例如三元场景下，即 \( z = f(x_1,x_2,x_3) \)，方向向量与 x，y，z轴的夹角分别是：\( \alpha \; \beta \; \gamma \)，则有： \( cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2 \gamma = 1 \)。

任意维度，也有类似的结论，并且应用柯西不等式时，上述结论也是类似的。

7. 说明：直觉

本文内容需要或者可以建立如下的“直觉”：

• 在一维空间（即\( \mathbb{R}\)上的函数，在某一点上的一阶导数的符号（正/负），可以代表在该方向上，函数的趋势是增长还是下降，“正号”，则是增长；“负号”，则是下降。
• 在一维空间（即\( \mathbb{R}\)上的函数，在某一点上的一阶导数的绝对值大小，即为其“陡峭程度”（更多的时候理解为，变化率大小）

上述两个结论，基本上认为是显然的。下面扩展到多维场景，也几乎是显然的：

• 在高维空间/多维变量（即\( \mathbb{R}^n\)时，在某一点的任意方向上，都有导数，称为方向导数，该方向导数的符号（正/负），可以代表在该方向上，函数的趋势是增长还是下降，“正号”，则是增长；“负号”，则是下降。
• 在高维空间/多维变量（即\( \mathbb{R}^n\)时，在某一点的任意方向上，都有导数，该导数的绝对值大小，即为其“陡峭程度”（更多的时候理解为，变化率大小）
• 更进一步的，也就是本文中的一个结论：高维空间/多维变量（即\( \mathbb{R}^n\)时，函数的所有的方向导数，在偏导数向量方向上，取值最大，即是最为“陡峭”的方向。

8. 所以，最后

所以，这就是为什么梯度下降算法中，总是倾向于选择偏导数向量方向进行下一次迭代。

在本科毕业后，最后留了几本书：《数学分析》（上下册）、概率论，一直到研究生毕业、再到工作都一直带着，还从北京邮寄到了杭州。本想只是做个纪念的，没想到竟然还能用上…