DiskANN 是较为常见的向量数据库搜索算法，作者通过“贪婪搜索”和“健壮性剪枝”（“RobustPrune”）来构建一个“低直径”的图，从而实现高性能的向量搜索。这里的“低直径”很好的保障了点与点之间非常高效（只需要少数几条）完成搜索。“RobustPrune”则是构建低直径的“Vamana”图的关键步骤。本文通过计算推导、示例与试验的方式，来看看“RobustPrune”如何实现“低直径”图的构建，而这也正是 DiskANN 算法的核心之一。
1. RobustPrune 概述
论文中的原始描述如右图。
可以这样理解：在找到 \(p \) 的若干“邻居”后（邻居集合记为 \(N_{out}(p) \) ），由于“边”（出度）数量有限（这里是 \(R \) ），故需要进行“剪枝”，那么这里的“剪枝”方法即为“RobustPrune”：
- 在 \(N_{out}(p) \) 中找出距离 \(p \) 最近的点，记为 \(p^{*} \)
- 需要“剪枝”时，将满足下列条件的点都“剪掉”：
- \(\alpha \cdot d(p^{*},p’) \le d(p,p’) \)
在初次看到，表达式 \(\alpha \cdot d(p^{*},p’) \le d(p,p’) \) 的时候，是比较难理解其背后的用意的，本文则较为详细以分析、推导、“试验”的方式介绍该公式在图构建过程中所取的效果。
2. 二维空间的示例
这里以二维空间为例，以一个具体的场景来观察 RobustPrune 的效果。具体的，将上述的“剪枝”操作描述为如下的数学形式：
2.1 “剪枝”区域计算
在二维坐标系中有 \(P = (0,0) \, A = (2,0) \) ，考虑该集合：
$$
\mathscr{L} = \{ X | \frac{d(X,P)}{d(X,A)} \le \alpha \quad \text{and} \quad d(X,A) < d(X,P) \}
$$
即，在 RobustPrune 中落入该区域的点，将被剪枝。
这里 \(\alpha \) 是一个常数，且 \(\alpha \gt 1 \) 。 假设， \(\mathscr{L} \) 中的点 \(X\) 坐标是 \((x,y) \)，那么推导 \(x \, y \) 需要满足怎样的限制条件。
在上述的“数学”问题中，点 \(P = (0,0) \) 即为论文算法中的 \(p \)，点 \(A \) 即为论文算法中距离 \(p \) 点最近的邻居 \(p^{*} \)。问题中的 \(x \, y \) 限制提交，即为论文中的“剪枝”条件。
根据“简单”的数学推导（详细推导可以参考附录，为了连续性这里暂不详述），有如下结果，即坐标 \((x , y) \) 需满足如下条件：
$$
(x-\frac{2\alpha^2}{\alpha^2-1})^2 + y^2 \le \frac{4\alpha^2}{(\alpha^2-1)^2}
$$
可以看到，这是一个以 \(\frac{2\alpha}{\alpha^2 -1} \) 为半径，以 \((\frac{2\alpha^2}{\alpha^2-1},0) \) 为圆心的圆内部区域（包括边缘）。
更为具体的，取 \(\alpha = 1.2 \)，则在坐标系中，该区域为右图。
即，当 \(P \) 点、 \(A \) 点确定时，落入右侧图形中阴影部分的点，均会被“剪枝”。
2.2 实际“剪枝”区域
更为一般的，如果在平面中任意去一些点，也有类似的结论。其对应的“剪枝圆”（有的地方会称为“遮蔽空间），则有如下的形式：
考虑右图中， \(A \) 为距离 \(P \) 最近的邻居，那么看看点 \(B \)、\(C \) 是否会被遮蔽。
与上述推导类似的，可以计算出对应的“剪枝圆”如右图阴影部分，因为 \(C \) 点恰好落在该区域（且又因为邻居数量超过最大出度），故 \(C \) 将被从邻居中删除。
这就是 RobustPrune 在二维空间的效果。更进一步的，为什么这样进行剪枝就可以保障“低直径”呢？
3. “剪枝”、不“剪枝”的对比
为了进一步加深对 RobustPrune 效果的理解，我们考虑这样的问题：在一个 Vamana 图的构建过程中，使用 RobustPrune 进行“剪枝”和不使用该方法剪枝，构建的图会有什么不同？
在进行正式的试验验证之前，我们有理由这样去考虑：因为“出度” \(R \) 是固定的值，将距离 \(A \) 很近的点从候选邻居中删除，可以避免某些区域邻居过于集中，并将该位置预留给距离 \(P \) 远一些的邻居，这可能会有利于降低图的直径。
上述理解，即为 RobustPrune 的直觉建立的比较核心的理解。
为了更好的理解上述内容，并验证上述“直觉”，这里通过程序随机生成30点，并尝试构建 Vamana 图，在构建过程中对比使用 RobustPrune 剪枝和不进行剪枝，看看两种方式构建的图有什么差异。
3.1 剪枝、不剪枝对比图
具体的实现程序参考：Vamana Graph.ipynb。程序中，先生成 30 个随机的点，如 Figure 1；然后分别使用带有“剪枝”、没有“剪枝”的算法，生成图，如 Figure 2、Figure3。
这里可以较为直观的看到，因为这里的“出度” \(R = 3 \) 是固定的，点“3”和点“22”，在剪枝和不剪枝的情况下，两个点之间的距离相差非常大，这也最终导致图的“直径”相差很大。
4. 拆解 RobustPrune “剪枝”过程
这里以点“3”，记为 \(P_3 \)， 为例，看看RobustPrune “剪枝”是如何进行的。
首先，在该示例中使用“最近”初始化的方法（而不是随机初始化），即对于每一个点，例如这里的 \(P_3 \) ，初始其“出度”（out degree）候选邻居为距离其最近的10个点，即
$$ N_{out}(p) = \{ P_{21}\,P_{16}\,P_5 \, P_{22}\, P_0 \, P_{20}\, P_{13}\, P_{12}\, P_8\, P_{23} \} $$
这里考虑的欧式距离，故最近的点为 \(P_{21} \)。
4.1 考虑RobustPrune剪枝
在进行RobustPrune剪枝时，点 \(P_5 \, P_{16} \)处于点\(P_{21} \)的遮蔽区域，故进行剪枝。最终保留了点：\( N_{out}(p) = \{ P_{21} \, P_{22}\, P_0 \} \)
4.2 不考虑剪枝
不考虑“剪枝”，又因为这里最大出度\(R=3 \)，故保留距离 \(P_3 \) 最近的三个点，则为：\( N_{out}(p) = \{ P_{5} \, P_{16}\, P_{21} \} \)
4.3 剪枝区域
在上述的示例中，我们可以绘制考虑 \(P_3 \) 时，取 \(\alpha = 1.2 \)时，剪枝所涉及的遮蔽区域如下，即落到该区域内的点（除了最近的 \(P_{21} \) ），都将被剪枝，如右图。
并且，因为最大出度 \(R = 3 \)，在剩余的点中，再额外选取两个最近的点保留，这里即为：\(\{ P_0 \, P_{22} \} \)。
所以，经过RobustPrune剪枝，最终 \(\{ P_3 \} \) 保留的“出度”邻居点集为
$$
N_{out}(P_3) = \{ P_{21} \, P_{0} \, P_{22} \}
$$
可以看到，经过剪枝，在构建 \(P_3 \) 的出度邻居时，在最大出度限制为 \(R=3 \) 时，很好的避免了图邻居的“聚集”，从而最终减低了整个图的直径，就有了上述的最终构建效果：
5. 最后
这里给出的示例是二维的，在这个场景下，高维扩展并没有太大的不同。从构建“直觉”的角度，这里给出示例已经足够。对于更高维的场景，如果感兴趣的，可以自己进行推导。
附录：数学推导
这里，\(P = (0,0) \, A = (2,0) \)，再根据剪枝公式有：
$$
\begin{aligned}
\frac{d(X,P)}{d(X,A)} & \ge \alpha \\
\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}} & \ge \alpha \\
\frac{x^2+y^2}{(x-2)^2+y^2} & \ge \alpha^2 \\
x^2+y^2 & \ge \alpha^2((x-2)^2+y^2) \\
x^2+y^2 & \ge \alpha^2x^2 -4\alpha^2 x + 4\alpha^2 + \alpha^2 y^2 \\
0 & \ge x^2 – \frac{4\alpha^2 x}{(\alpha^2-1)} + \frac{4\alpha^2}{(\alpha^2-1)} + y^2 \\
0 & \ge (x- \frac{2\alpha^2}{(\alpha^2-1)})^2 – (\frac{2\alpha^2}{(\alpha^2-1)})^2 + \frac{4\alpha^2}{(\alpha^2-1)} + y^2 \\
(x- \frac{2\alpha^2}{(\alpha^2-1)})^2 + y^2 & \le (\frac{2\alpha^2}{(\alpha^2-1)})^2 – \frac{4\alpha^2}{(\alpha^2-1)}\\
(x- \frac{2\alpha^2}{(\alpha^2-1)})^2 + y^2 & \le (\frac{2\alpha}{\alpha^2-1})^2 \quad \blacksquare
\end{aligned}
$$
