在整个大语言模型学习之路中，对 Attention 机制的理解大概是最为让我困惑的部分，最终经过层层解构、加上重新把“线性代数”温习了一遍之后，最终，总算某种程度的理解了 Attention 机制的设计。相信对于所有NLP专业的人，这部分都是不太容易理解的。

1. 概述

要想讲清楚，大概也是非常不容易的，这里就做一个尝试吧。这里的重点是讲清楚 Attention Score （简称Attention）的计算。介绍的顺序是“两个词语的相似度”、“Similarity Score Matrix”、“Attention Score Matrix”。

1.1 要构建的是直觉，而不是“推理”

为什么 Attention 理解起来很难呢？我想其中有一个原因大概是这个“机制”本身并不是某种“公式推导”出来的，而是通过一篇篇论文与实践，被证明非常有效的一个机制，所以，这个机制本身的所具备的“可解释性”其实也是有限的。这大概也是，无论你在互联网上如何搜索，也没有谁可以比较简单的把这个机制说清楚的原因。但，理解这个机制构建的直觉，对于理解整个 Transformer ，以及整个当代大语言模型技术基础都是至关重要的。

2. 预处理

在“大语言模型的输入：tokenize”中详细介绍了“提示词”进入大模型处理之前，如何将提示词换行成大模型可以处理的“词向量”或者说“token embedding”。

大语言模型在开始“Attention”计算之前，还会对“token embedding”进行一些预处理，这些预处理包括了“融入”位置向量、对向量进行“归一化”处理（将各个向量都转化为均值为0、方差为1的向量，长度要统一变成1吗？）。

例如，在这里的例子中，提示词 “It’s very hot in summer. Swimming is”，先转换为embedding，然后加上位置编码（positional encoder)、再进行正规化，最后变换为如下的向量 “ X ” ：

|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|  Token    | wte[:3] (word token embedding)  | wpe[:3](word positional e..)|   wte [:3]  + wpe [:3]     | X[:3] (Norm)                    |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|It         | [0.039,   -0.0869, 0.0662 ,...] | [-0.0188, -0.1974, 0.004  ] | [0.0202, -0.2844,0.0702 ]  | [ 0.0129, -0.1104, -0.0317,...] |
|âĢ         | [-0.075,  0.0948,  -0.0034,...] | [0.024,   -0.0538, -0.0949] | [-0.051, 0.041,  -0.0982]  | [-0.0530,  0.0588, -0.1290,...] |
|Ļ          | [-0.0223, 0.0182,  0.2631 ,...] | [0.0042,  -0.0848, 0.0545 ] | [-0.0181,-0.0666,0.3176 ]  | [-0.0170, -0.0242,  0.1639,...] |
|s          | [-0.064,  -0.0469, 0.2061 ,...] | [-0.0003, -0.0738, 0.1055 ] | [-0.0643,-0.1207,0.3116 ]  | [-0.0754, -0.0842,  0.1842,...] |
|Ġvery      | [-0.0553, -0.0348, 0.0606 ,...] | [0.0076,  -0.0251, 0.127  ] | [-0.0477,-0.0599,0.1876 ]  | [-0.0566, -0.0280,  0.0953,...] |
|Ġhot       | [0.0399,  -0.0053, 0.0742 ,...] | [0.0096,  -0.0339, 0.1312 ] | [0.0495, -0.0392,0.2054 ]  | [ 0.0587, -0.0086,  0.1073,...] |
|Ġin        | [-0.0337, 0.0108,  0.0293 ,...] | [0.0027,  -0.0205, 0.1196 ] | [-0.031, -0.0098,0.149  ]  | [-0.0391,  0.0209,  0.0731,...] |
|Ġsummer    | [0.0422,  0.0138,  -0.0213,...] | [0.0025,  -0.0032, 0.1174 ] | [0.0448, 0.0106, 0.0961 ]  | [ 0.0532,  0.0397,  0.0181,...] |
|.          | [0.0466,  -0.0113, 0.0283 ,...] | [-0.0012, -0.0018, 0.111  ] | [0.0454, -0.0131,0.1394 ]  | [ 0.0553,  0.0152,  0.0579,...] |
|ĠSw        | [0.0617,  0.0373,  0.1018 ,...] | [0.0049,  0.0021,  0.1178 ] | [0.0666, 0.0395, 0.2196 ]  | [ 0.0807,  0.0691,  0.1216,...] |
|imming     | [-0.1385, -0.1774, -0.0181,...] | [0.0016,  0.0062,  0.1004 ] | [-0.1369,-0.1711,0.0823 ]  | [-0.1528, -0.1249, -0.0017,...] |
|Ġis        | [-0.0097, 0.0101,  0.0556 ,...] | [-0.0036, 0.0175,  0.1068 ] | [-0.0133,0.0275, 0.1623 ]  | [-0.0175,  0.0605,  0.0880,...] |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

这里的 “X” 是一个由12个 “token embedding”组成的矩阵，“形状”是 12 x 768 。在数学符号上，有：

   ---------------------------------------    ------------------------------------------   -------------
   |     [ 0.0129, -0.1104, -0.0317,...] |    | x_1  = [ 0.0129, -0.1104, -0.0317,...] |   |It         |
   |     [-0.0530,  0.0588, -0.1290,...] |    | x_2  = [-0.0530,  0.0588, -0.1290,...] |   |âĢ         |
   |     [-0.0170, -0.0242,  0.1639,...] |    | x_3  = [-0.0170, -0.0242,  0.1639,...] |   |Ļ          |
   |     [-0.0754, -0.0842,  0.1842,...] |    | x_4  = [-0.0754, -0.0842,  0.1842,...] |   |s          |
   |     [-0.0566, -0.0280,  0.0953,...] |    | x_5  = [-0.0566, -0.0280,  0.0953,...] |   |Ġvery      |
   | X = [ 0.0587, -0.0086,  0.1073,...] |    | x_6  = [ 0.0587, -0.0086,  0.1073,...] |   |Ġhot       |
   |     [-0.0391,  0.0209,  0.0731,...] |    | x_7  = [-0.0391,  0.0209,  0.0731,...] |   |Ġin        |
   |     [ 0.0532,  0.0397,  0.0181,...] |    | x_8  = [ 0.0532,  0.0397,  0.0181,...] |   |Ġsummer    |
   |     [ 0.0553,  0.0152,  0.0579,...] |    | x_9  = [ 0.0553,  0.0152,  0.0579,...] |   |.          |
   |     [ 0.0807,  0.0691,  0.1216,...] |    | x_10 = [ 0.0807,  0.0691,  0.1216,...] |   |ĠSw        |
   |     [-0.1528, -0.1249, -0.0017,...] |    | x_11 = [-0.1528, -0.1249, -0.0017,...] |   |imming     |
   |     [-0.0175,  0.0605,  0.0880,...] |    | x_12 = [-0.0175,  0.0605,  0.0880,...] |   |Ġis        |
   ---------------------------------------    ------------------------------------------   -------------

3. Similarity Score Matrix

在正式介绍 Attention 之前，为了能够比较好的理解“为什么”是这样，这里先引入了“Similarity”的概念，最终在该概念上，新增权重矩阵，就是最终的 Attention ：

3.1 两个“词语”的相似度

在向量为单位长度的时候，通常可以直接使用“内积”作为两个向量的相似度度量。例如，考虑词语 “hot” 与 “summer” 的相似度，则可以“简化”的处理这两个词（Token）的向量的“内积”。

在前面的文章“大语言模型的输入：tokenize”中，较为详细的介绍了大语言模型如何把一个句子转换成一个的 Token，然后再转换为一个个“向量”。那么，我们通常会通过两个向量的余弦相似度来描述其相似度，如果向量的“长度”（\(L_2 \) 范数）是单位长度，那么也通常会直接使用“内积”描述两个向量的相似度：

$$
\cos \theta = \frac{\alpha \cdot \beta}{\|\alpha\| \|\beta\| }
$$

\(f(x) = \cos(x) \) 的图像如右图，故：

• 夹角为 0 时，最为相似，这时候 \(\cos(x) = 1 \)
• 夹角 \(\pi \) 时，最“不”相似，这时候 \(\cos(x) = 0 \)

例如，

3.2 “Similarity Score Matrix”

因为两个向量的“内积”某种程度可以表示为相似度。那么，对于句子中的某个 token 来说，与其他所有向量各自计算“内积”，就可以获得一个与其他所有向量“相似程度”的数组，再对这个数组进行 softmax 计算就可以获得一个该 token 与其他所有向量“相似程度”的归一化数组。这个归一化的数据，就可以理解为这里的“Similarity Score Matrix”。

这里依旧以“大语言模型的输入：tokenize”示例中的句子为演示示例。

更为具体的，可以参考右图。这里考虑 Token “It” 与其他所有词语的相似度。即计算 Token “It” 的 Embedding 向量，与其他所有向量的“内积”。

更进一步，如果计算两两词语之间的相似度，并进行归一化（softmax ），则有如下的Similarity Matrix：

[0.6975, 0.0347, 0.0236, 0.0298, 0.0386, 0.0282, 0.0272, 0.0270, 0.0216, 0.0244, 0.0219, 0.0254]
[0.0000, 0.9994, 0.0002, 0.0000, 0.0000, 0.0001, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0001, 0.0001, 0.0000]
[0.0000, 0.0004, 0.9987, 0.0001, 0.0001, 0.0001, 0.0000, 0.0002, 0.0000, 0.0001, 0.0002, 0.0000]
[0.0002, 0.0003, 0.0004, 0.9945, 0.0008, 0.0004, 0.0011, 0.0003, 0.0007, 0.0005, 0.0002, 0.0007]
[0.0013, 0.0012, 0.0013, 0.0042, 0.9724, 0.0044, 0.0047, 0.0021, 0.0030, 0.0013, 0.0012, 0.0028]
[0.0002, 0.0003, 0.0003, 0.0004, 0.0009, 0.9932, 0.0005, 0.0020, 0.0004, 0.0009, 0.0006, 0.0003]
[0.0049, 0.0048, 0.0038, 0.0299, 0.0258, 0.0125, 0.7728, 0.0086, 0.0779, 0.0095, 0.0025, 0.0471]
[0.0001, 0.0001, 0.0005, 0.0002, 0.0003, 0.0015, 0.0002, 0.9959, 0.0002, 0.0003, 0.0003, 0.0002]
[0.0049, 0.0048, 0.0045, 0.0255, 0.0203, 0.0126, 0.0974, 0.0082, 0.7698, 0.0094, 0.0024, 0.0401]
[0.0001, 0.0001, 0.0001, 0.0002, 0.0001, 0.0003, 0.0001, 0.0002, 0.0001, 0.9983, 0.0002, 0.0002]
[0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.9998, 0.0000]
[0.0033, 0.0027, 0.0028, 0.0129, 0.0110, 0.0063, 0.0334, 0.0055, 0.0228, 0.0075, 0.0025, 0.8893]

在这个示例中，则会有上述 12×12 的矩阵。该矩阵反应了“词”与“词”之间的相似度。如果，我们把每一行再进行一个“归一化”（注右图已经经过了归一化），那么每一行，就反应了一个词语与其他所有词语相似程度的一个度量。

4. Self-Attention

4.1 对比

注意到最终的 “Attention” 计算公式和上述的“Similarity Score Matrix”的差别就是参数矩阵W：

4.2 为什么需要参数矩阵 W

那么，为什么需要 \(W^Q \,, W^K \,, W^V \) 呢？这三个参数矩阵乘法，意味着什么呢？要说清楚、要理解这个点并不容易，也没有什么简单的描述可以说清楚的，这也大概是为什么，对于非 NLP 专业的人，要想真正理解 Transformer 或 Attention 是比较困难的。

你可能会看到过一种比较普遍的、简化版本，大概是说 \(W^Q \) 是一个 Query 矩阵，表示要查询什么；\(W^K \) 是一个 Key 矩阵，表示一个词有什么。这个说法似乎并不能增加对上述公式的理解。

那么，一个向量乘以一个矩阵时，这个“矩阵”意味着什么？是的，就是“线性变换”。

4.3 线性变换 Linear Transformations

一般来说，\(W^Q \,, W^K \,, W^V \) 是一个 \(d \times d \) 的矩阵^[1]。对于的 Token Embedding （上述的矩阵 X ）所在的向量空间，那么 \(W^Q \,, W^K \,, W^V \) 就是该向量空间的三个“线性变换”。

那么线性变换对于向量空间的作用是什么呢？这里我们以“奇异值分解”的角度来理解这个问题^[2]，即对向量进行拉伸/压缩、旋转、镜像变换。\(W^Q \,, W^K \,, W^V \) 则会分别对向量空间的向量（即Token Embedding）做类似的变换。变换的结果即为：

$$ Q = XW^Q \quad \quad K = XW^K \quad \quad V = XW^V $$

那么，如果参数矩阵“设计”合理，“Token”与“Token”之间就可以建立“期望”的 Attention 关系，例如：“代词”（it），总是更多的关注于“名词”；“名词”更多的关注与附近的“形容词”；再比如，“动词”更多关注前后的“名词”等。除了词性，线性变换关注的“维度”可能有很多，例如“位置”、“情感”、“动物”、“植物”、“积极/消极”等。关于如何理解 token embedding 的各个“维度”含义可以参考：Word Embedding 的可解释性探索。

当然，这三个参数矩阵都不是“设计”出来的，而是“训练”出来的。所以，要想寻找上述如此清晰的“可解释性”并不容易。2019年的论文《What Does BERT Look At? An Analysis of BERT’s Attention》较为系统的讨论了这个问题，感兴趣的可以去看看。

关于线性变换如何作用在向量空间上，可以参考：线性代数、奇异值分解–深度学习的数学基础。

所以，\( \frac{QK^T}{\sqrt{d}} = \frac{XW^Q (XW^K)^T}{\sqrt{d}} \) 则可以系统的表示，每个“Token”对于其他“Token”的关注程度（即pay attention的程度）。可以注意到：

• 增加了参数矩阵\(W^Q \,, W^K \,, W^V \)后，前面的“相似性”矩阵，就变为“注意力”矩阵
• “Token” 之间的关注程度不是对称的。例如 Token A 可能很关注 B；但是 B 可能并不关注 A
• 这里的 \(\sqrt{d} \) 根据论文描述，可以提升计算性能；

如果，你恰好理解了上面所有的描述，大概会有点失望的。就只能到这儿吗？似乎就只能到这里了。如果，你有更深刻的理解，欢迎留言讨论。

接下里，我们来看看 “Attention Score Matrix” 的计算。

4.4 Attention Score Matrix

使用上述的 “Similarity Score Matrix” 的计算方式，可以计算类似的 “Attention Score Matrix”，之后再对该矩阵进行 softmax 计算就可以获得每个词语对于其他所有词语的 Attention Score，或者叫“关注程度”。有了这个关注程度，再乘以 V 矩阵，原来的 Token Embedding 就变换为一个新的带有上下文的含义的 Token Eembedding 了，即 Context Embedding^[3]。

           Attention Score Matrix (12 x 12)
           It     âĢ     Ļ      s    Ġvery  Ġhot   Ġin   Ġsummer   .     ĠSw   imming  Ġis
         -----------------------------------------------------------------------------------
 It      [ 0.14, -1.53, -1.45, -1.71, -1.69, -1.74, -2.36, -2.27, -2.37, -1.33, -0.58, -2.40]  |
 âĢ      [ 0.70, -0.93, -1.72, -1.02, -1.52, -2.24, -1.90, -2.19, -1.63, -2.13, -1.66, -2.14]  |
 Ļ       [-0.60, -1.81, -1.99, -1.96, -2.57, -1.84, -1.62, -2.04, -0.98, -1.18, -2.23, -2.25]  |
 s       [-0.46, -1.33, -1.60, -2.65, -2.24, -1.99, -2.89, -1.44, -2.05, -2.77, -2.09, -2.74]  |
 Ġvery   [ 0.29, -1.42, -1.77, -1.15, -0.94, -1.14, -1.81, -1.04, -1.77, -2.13, -0.60, -0.82]  |
 Ġhot    [ 0.03, -0.68, -0.59, -0.95, -1.78, -0.10, -0.95, -0.14, -1.32, -0.57,  0.06, -1.07]  12
 Ġin     [-0.71, -1.72, -1.53, -2.18, -1.67, -1.93, -3.41, -1.69, -2.74, -1.89, -1.17, -2.02]  rows
 Ġsummer [-0.34, -1.49, -1.35, -1.31, -1.12, -0.89, -1.49, -1.11, -1.51, -1.15, -1.45, -1.20]  |
 .       [-0.89, -1.73, -2.67, -2.80, -2.45, -2.37, -4.39, -2.33, -4.42, -2.73, -1.82, -3.21]  |
 ĠSw     [-0.05, -1.15, -1.76, -1.15, -1.68, -0.74, -1.15, -1.35, -1.36, -1.29, -0.43, -1.51]  |
 imming  [-0.02, -1.65, -0.87, -0.35, -1.18, -0.65, -0.33, -1.25, -0.38, -1.68, -2.15, -1.08]  |
 Ġis     [-0.97, -2.03, -2.56, -2.94, -1.96, -2.71, -4.07, -2.46, -3.51, -2.68, -1.88, -2.99]  |
         -----------------------------------------------------------------------------------
         |<----------------------------- columns: 12 -------------------------------------->|

4.5 Masked Attention Score Matrix

上述计算，是一个典型的 Self Attention 计算过程，BERT 模型就使用类似的计算，但 GPT 模型（或者叫 Decoder 模型）还有一些不同。GPT 模型中为了训练出更好的从现有 Token 中生成新 Token 的模型，将上述的 Self Attention 更改成了 Masked Self Attention ，即将 Attention Score Matrix 的右上角部分全部置为 -inf （即负无穷），后续经过 softmax 之后这些值都会变成零，即，在该类模型下，一个词语对于其后面的词的关注度为 0 。

           Masked Attention Score Matrix (12 x 12)
           It     âĢ     Ļ      s    Ġvery  Ġhot   Ġin   Ġsummer   .     ĠSw   imming  Ġis
         ---------------------------------------------------------------------------------------
 It      [ 0.14,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 âĢ      [ 0.70, -0.93,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 Ļ       [-0.60, -1.81, -1.99,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 s       [-0.46, -1.33, -1.60, -2.65,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 Ġvery   [ 0.29, -1.42, -1.77, -1.15, -0.94,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 Ġhot    [ 0.03, -0.68, -0.59, -0.95, -1.78, -0.10,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  12
 Ġin     [-0.71, -1.72, -1.53, -2.18, -1.67, -1.93, -3.41,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  rows
 Ġsummer [-0.34, -1.49, -1.35, -1.31, -1.12, -0.89, -1.49, -1.11,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 .       [-0.89, -1.73, -2.67, -2.80, -2.45, -2.37, -4.39, -2.33, -4.42,  -inf,  -inf,  -inf]  |
 ĠSw     [-0.05, -1.15, -1.76, -1.15, -1.68, -0.74, -1.15, -1.35, -1.36, -1.29,  -inf,  -inf]  |
 imming  [-0.02, -1.65, -0.87, -0.35, -1.18, -0.65, -0.33, -1.25, -0.38, -1.68, -2.15,  -inf]  |
 Ġis     [-0.97, -2.03, -2.56, -2.94, -1.96, -2.71, -4.07, -2.46, -3.51, -2.68, -1.88, -2.99]  |
         ---------------------------------------------------------------------------------------
         |<----------------------------- columns: 12 -------------------------------------->|

通常为了快速计算对于上述的计算值会除以 \(\sqrt{d} \) ，可以提升计算的效率。

4.6 归一化(softmax) Attention Score

对于上述矩阵的每一行都进行一个 softmax 计算，就可以获得一个归一化的按照百分比分配的Attention Score。

           The Attention Score Matrix (12 x 12)
           It   âĢ    Ļ     s     Ġvery  Ġhot  Ġin  Ġsummer  .   ĠSw   imming Ġis
         -----------------------------------------------------------------------------
 It      [1.00  0.00  0.00  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 âĢ      [0.84  0.16  0.00  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 Ļ       [0.65  0.19  0.16  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 s       [0.54  0.23  0.17  0.06   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 Ġvery   [0.54  0.10  0.07  0.13   0.16  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 Ġhot    [0.29  0.14  0.16  0.11   0.05  0.25  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  12
 Ġin     [0.36  0.13  0.16  0.08   0.14  0.11  0.02  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]  rows
 Ġsummer [0.26  0.08  0.09  0.10   0.12  0.15  0.08  0.12  0.00  0.00  0.00  0.00]  |
 .       [0.40  0.17  0.07  0.06   0.08  0.09  0.01  0.10  0.01  0.00  0.00  0.00]  |
 ĠSw     [0.27  0.09  0.05  0.09   0.05  0.14  0.09  0.07  0.07  0.08  0.00  0.00]  |
 imming  [0.19  0.04  0.08  0.14   0.06  0.10  0.14  0.06  0.13  0.04  0.02  0.00]  |
 Ġis     [0.30  0.10  0.06  0.04   0.11  0.05  0.01  0.07  0.02  0.05  0.12  0.04]  |
         -----------------------------------------------------------------------------
         |<----------------------------- columns: 12 --------------------------->|

4.7 Contextual Embeddings

最后，再按照上述的 Attention Matrix 的比例，将各个 Token Embedding 进行一个“加权平均计算”。

例如，上述的加权计算时，“summer” 则会融入 26% 的“It”，15%的“hot”… ，最后生成新的 “summer” 的表达，这个表达也可以某种程度理解为 “Contextual Embeddings”。需要注意的是，这里在计算加权平均，也不是直接使用原始的 Token Embedding ，也是一个经过了线性变换的Embedding，该线性变换矩阵也是经过训练而来的，即矩阵 \(W^V \)。

Token      | Contextual Embeddings(12 x 768)
--------------------------------------------
It         | [ 0.0452,  0.0628,  0.1463,...]
âĢ         | [ 0.0153,  0.0752,  0.1247,...]
Ļ          | [ 0.0034,  0.0464,  0.0923,...]
s          | [-0.0082,  0.0464,  0.0801,...]
Ġvery      | [ 0.0218,  0.1029,  0.0621,...]
Ġhot       | [ 0.0327,  0.0892,  0.0409,...]
Ġin        | [ 0.0249,  0.0964,  0.0329,...]
Ġsummer    | [ 0.0583,  0.1195,  0.0068,...]
.          | [ 0.0334,  0.1100,  0.0366,...]
ĠSw        | [ 0.0086,  0.0846,  0.0074,...]
imming     | [-0.0049,  0.0841, -0.0339,...]
Ġis        | [ 0.0410,  0.0706,  0.0077,...]

5 计算示意图

如下的示意图，一定的可视化的表达了，一个 Token 如何经过上述的矩阵运算，如何了其他 Token 的内容。

6. 注意力矩阵的观察

那么，我们给定于如下的提示词输入：“Martin’s one of my sons, and the other is Chanler.”。看看在 GPT 模型中，各个Token之间的 Attention 情况：

• 这句话总计有21个token，所以这是一个21×21的矩阵
• 这里是“masked self-attention”，所以矩阵的右上半区都是 “0” 。
• 在GPT2中，一共12层，每层12个“头”，所以一共有“144”个类似的矩阵
• \(W^Q \,, W^K \,, W^V \) 的维度都是768×64，所以粗略的估计这部分的参数量就超过2000万，具体的：

768*64*3*144 = 21,233,664

7. Multi-Head Attention

7.1 Scaled Dot-Product Attention

以前面小结“预处理”中的 X 为例，Attention Score Matrix 就有如下的计算公式：

$$
\begin{aligned}
\text{Attention Score Matrix} & = \text{softmax}(\frac{QK^T}{\sqrt{d}}) \\
& = \text{softmax}(\frac{XW^Q(XW^K)^T}{\sqrt{d}})
\end{aligned}
$$

最终的 Attention 计算如下：

$$
\begin{aligned}
\text{Attention}(Q,K,V) & = \text{softmax}(\frac{QK^T}{\sqrt{d}})V \\
& = \text{softmax}(\frac{XW^Q(XW^K)^T}{\sqrt{d}})XW^V
\end{aligned}
$$

7.2 Multi-Head Attention

上述的“Attention”在论文“Attention Is All You Need”称为“Scaled Dot-Product Attention”。更进一步的在论文中提出了“Multi-Head Attention”（经常被缩写为“MHA”）。对应的公式如下（来自原始论文）：

$$
\begin{aligned}
\text{MultiHead}(Q, K, V) & = \text{Concat}(\text{head}_1, \dots, \text{head}_h)W^O \\
\text{where} \quad \text{head}_i & = \text{Attention}(QW_i^Q, KW_i^K, VW_i^V)
\end{aligned}
$$

更完整的解释，可以参考原始论文。这里依旧以前文的示例来说明什么是MHA。

在本文第4章“Self-Attention”中，较为详细的介绍了相关的计算（即模型的推理过程）。在示例中，一共有12个“Token”，在进入 Attention 计算时经过位置编码、正则化后，12个“Token”向量组成矩阵“X”，这里的“X”的 shape 为 12 x 768，通常使用符号 \(l \times d \) 或者 \(l \times d_{model} \) 表示。最终输出的 Contextual Embedding 也是 \(l \times d_{model} \) 的一组表示12个 Token 向量，这是每个向量相比最初的输入向量，则融合上下文中其他词语的含义。在一个多层的模型中，这组向量则可以作为下一层的输入。

在“Multi-Head Attention”其输入、输出与“Self-Attention”一样，都是 \(l \times d_{model} \) 。但是，对于最终输出的 \(l \times d_{model} \) 的向量/矩阵，在 MHA 中则分为多个 HEAD 各自计算其中的一部分，例如，一共有 \(d_{model} \) 列，那么则分别有 \(h \) 个HEAD，每个 HEAD 输出其中的 \(\frac{d_{model}}{h} \) 列。在上述示例中，供有12个HEAD，即 \(h=12 \)，模型维度为768，即\(d_{model} = 768 \)，所以每个HEAD，最终输出 \(64 = \frac{d_model}{h} = \frac{768}{12} \) 列。即：

$$
\begin{aligned}
\text{where} \quad \text{head}_i & = \text{Attention}(QW_i^Q, KW_i^K, VW_i^V)
\end{aligned}
$$

然后由12个 Head 共同组成（concat）要输出的 Contextual Embedding，并对此输出做了一个线性变换\(W^O \)。即：

$$
\begin{aligned}
\text{MultiHead}(Q, K, V) & = \text{Concat}(\text{head}_1, \dots, \text{head}_h)W^O
\end{aligned}
$$

7.3 Self Attention vs MHA

Self Attention

---

Multi Head Attention

---

7.4 Multi-Head Attention 小结

• “Multi-Head Attention” 与 经典“Attention” 有着类似的效果，但是有着更好的表现性能
• “Multi-Head Attention” 与 经典“Attention” 有相同的输入，相同的输出

8. Attention 数学计算示意图

如下的图片，半可视化的展示了在GTP2中，某一个HEAD中Attention的计算。

9. 全流程数学计算

完整的计算，就是一个“forward propagation”或者叫“inference”的过程，这里依旧以上述的提示词“It’s very hot in summer. Swimming is”，并观察该提示词在 GPT2 模型中的第一个Layer、第一个Head中的计算。完成的代码可以参考：Attention-Please.ipynb

9.1 Token Embedding 和 Positional Embedding

|------------  -----------------------------------     -------------------------------     ------------------------------
|  Token    |  | wte[:3] (word token embedding)  |     | wpe[:3](word positional e..)|     |   wte [:3]  + wpe [:3]     |
|------------  -----------------------------------     -------------------------------     ------------------------------
|It         |  | [0.039,   -0.0869, 0.0662 ,...] |     | [-0.0188, -0.1974, 0.004  ] |     | [0.0202, -0.2844,0.0702 ]  |
|âĢ         |  | [-0.075,  0.0948,  -0.0034,...] |     | [0.024,   -0.0538, -0.0949] |     | [-0.051, 0.041,  -0.0982]  |
|Ļ          |  | [-0.0223, 0.0182,  0.2631 ,...] |     | [0.0042,  -0.0848, 0.0545 ] |     | [-0.0181,-0.0666,0.3176 ]  |
|s          |  | [-0.064,  -0.0469, 0.2061 ,...] |     | [-0.0003, -0.0738, 0.1055 ] |     | [-0.0643,-0.1207,0.3116 ]  |
|Ġvery      |  | [-0.0553, -0.0348, 0.0606 ,...] |  +  | [0.0076,  -0.0251, 0.127  ] |  =  | [-0.0477,-0.0599,0.1876 ]  |
|Ġhot       |  | [0.0399,  -0.0053, 0.0742 ,...] |     | [0.0096,  -0.0339, 0.1312 ] |     | [0.0495, -0.0392,0.2054 ]  |
|Ġin        |  | [-0.0337, 0.0108,  0.0293 ,...] |     | [0.0027,  -0.0205, 0.1196 ] |     | [-0.031, -0.0098,0.149  ]  |
|Ġsummer    |  | [0.0422,  0.0138,  -0.0213,...] |     | [0.0025,  -0.0032, 0.1174 ] |     | [0.0448, 0.0106, 0.0961 ]  |
|.          |  | [0.0466,  -0.0113, 0.0283 ,...] |     | [-0.0012, -0.0018, 0.111  ] |     | [0.0454, -0.0131,0.1394 ]  |
|ĠSw        |  | [0.0617,  0.0373,  0.1018 ,...] |     | [0.0049,  0.0021,  0.1178 ] |     | [0.0666, 0.0395, 0.2196 ]  |
|imming     |  | [-0.1385, -0.1774, -0.0181,...] |     | [0.0016,  0.0062,  0.1004 ] |     | [-0.1369,-0.1711,0.0823 ]  |
|Ġis        |  | [-0.0097, 0.0101,  0.0556 ,...] |     | [-0.0036, 0.0175,  0.1068 ] |     | [-0.0133,0.0275, 0.1623 ]  |
|------------  -----------------------------------     -------------------------------     ------------------------------

9.2 Normalize

Token      |   X norm[:3]  (12 x 768)
--------------------------------------------
It         | [ 0.0129, -0.1104, -0.0317,...]
âĢ         | [-0.0530,  0.0588, -0.1290,...]
Ļ          | [-0.0170, -0.0242,  0.1639,...]
s          | [-0.0754, -0.0842,  0.1842,...]
Ġvery      | [-0.0566, -0.0280,  0.0953,...]
Ġhot       | [ 0.0587, -0.0086,  0.1073,...]
Ġin        | [-0.0391,  0.0209,  0.0731,...]
Ġsummer    | [ 0.0532,  0.0397,  0.0181,...]
.          | [ 0.0553,  0.0152,  0.0579,...]
ĠSw        | [ 0.0807,  0.0691,  0.1216,...]
imming     | [-0.1528, -0.1249, -0.0017,...]
Ġis        | [-0.0175,  0.0605,  0.0880,...]

9.3 Attention 层的参数矩阵

   W^Q [:3]  shape (768 x 64)               W^K [:3]  shape (768 x 64)                                  W^V [:3]  shape (768 x 64)
-------------------------------------    --------------------------------                            --------------------------------
[-0.4738, -0.2614, -0.0978, ...]   |     [ 0.3660,  0.0771,  0.2226, ...]                            [ 0.1421,  0.0329, -0.0667, ...]
[ 0.0874,  0.1473,  0.2387, ...]   |     [-0.4380, -0.1446, -0.4717, ...]                            [ 0.0162, -0.0633, -0.0636, ...]
[ 0.0039,  0.0695,  0.3668, ...]   |     [ 0.1237,  0.0174,  0.1181, ...]                            [ 0.0229, -0.0828,  0.0437, ...]
[ 0.2215, -0.1884, -0.0141, ...]  64     [-0.2247,  0.0148, -0.1859, ...]                            [-0.0106,  0.0070,  0.0565, ...]
[-0.0947,  0.1678, -0.0143, ...]  rows   [-0.2001, -0.1052, -0.1743, ...]                            [ 0.0416,  0.0938, -0.1792, ...]
   ...                             |        ...                                                          ...
[-0.4100, -0.1924, -0.2400, ...]   |     [,0.1567,  0.2664,  0.1851, ...]                            [-0.0341,  0.0034,  0.0203, ...]
-------------------------------------    --------------------------------                            --------------------------------
|<------- columns: 768 ------->|         |<------- columns: 768 ------->|                            |<------- columns: 768 ------->|

9.4 矩阵 Q K V的计算

    Q [:3]  shape (12 x 64)                  K [:3]  shape (12 x 64)                                      V [:3]  shape (12 x 64)
-------------------------------------    ---------------------------------                           --------------------------------
[ 0.4207, -0.9178,  0.1760, ...]  |      [ -1.4202,  1.6791,  0.9837, ...]                           [ 0.0452,  0.0628,  0.1463, ...]
[ 0.7757,  0.2485,  0.7349, ...]  |      [ -2.5320,  2.2932,  1.5592, ...]                           [-0.1361,  0.1379,  0.0150, ...]
[ 0.4481,  0.0206, -0.0825, ...]  |      [ -2.2571,  2.7764,  1.8401, ...]                           [ 0.0039, -0.1295, -0.0311, ...]
[ 0.9500,  0.1481,  0.3469, ...] 12      [ -2.4322,  3.1454,  2.0600, ...]                           [-0.0391,  0.0581,  0.0511, ...]
[ 0.4989, -0.4376,  0.1678, ...] rows    [ -3.5428,  2.1485,  2.0414, ...]                           [ 0.0963,  0.3563, -0.1477, ...]
  ...                             |        ...                                                         ...
[ 0.4429, -1.1997,  0.5611, ...]  |      [ -2.2559,  2.0384,  2.2542, ...]                           [ 0.2759, -0.2783,  0.3240, ...]
-------------------------------------    ---------------------------------                           --------------------------------
|<------- columns: 64 ------->|          |<------- columns: 64 ------->|                             |<------- columns: 64 ------->|

9.5 计算 Attention Score

|---------------------------------------------------------------------------------------------|
|       |           Attention Score Matrix shape (12 x 12)                                    |
| Token |-------------------------------------------------------------------------------------|
|       |   It     âĢ     Ļ      s     Ġvery  Ġhot    Ġin  Ġsummer  .     ĠSw    imming  Ġis  |
|-------|-------------------------------------------------------------------------------------|----
|It     | [ 0.14, -1.53, -1.45, -1.71, -1.69, -1.74, -2.36, -2.27, -2.37, -1.33, -0.58, -2.40]|  |
|âĢ     | [ 0.70, -0.93, -1.72, -1.02, -1.52, -2.24, -1.90, -2.19, -1.63, -2.13, -1.66, -2.14]|  |
|Ļ      | [-0.60, -1.81, -1.99, -1.96, -2.57, -1.84, -1.62, -2.04, -0.98, -1.18, -2.23, -2.25]|  |
|s      | [-0.46, -1.33, -1.60, -2.65, -2.24, -1.99, -2.89, -1.44, -2.05, -2.77, -2.09, -2.74]|  |
|Ġvery  | [ 0.29, -1.42, -1.77, -1.15, -0.94, -1.14, -1.81, -1.04, -1.77, -2.13, -0.60, -0.82]|  |
|Ġhot   | [ 0.03, -0.68, -0.59, -0.95, -1.78, -0.10, -0.95, -0.14, -1.32, -0.57,  0.06, -1.07]|  12
|Ġin    | [-0.71, -1.72, -1.53, -2.18, -1.67, -1.93, -3.41, -1.69, -2.74, -1.89, -1.17, -2.02]|  rows
|Ġsummer| [-0.34, -1.49, -1.35, -1.31, -1.12, -0.89, -1.49, -1.11, -1.51, -1.15, -1.45, -1.20]|  |
|.      | [-0.89, -1.73, -2.67, -2.80, -2.45, -2.37, -4.39, -2.33, -4.42, -2.73, -1.82, -3.21]|  |
|ĠSw    | [-0.05, -1.15, -1.76, -1.15, -1.68, -0.74, -1.15, -1.35, -1.36, -1.29, -0.43, -1.51]|  |
|imming | [-0.02, -1.65, -0.87, -0.35, -1.18, -0.65, -0.33, -1.25, -0.38, -1.68, -2.15, -1.08]|  |
|Ġis    | [-0.97, -2.03, -2.56, -2.94, -1.96, -2.71, -4.07, -2.46, -3.51, -2.68, -1.88, -2.99]|  |
|-------|-------------------------------------------------------------------------------------|----
        |<-------------------------------- columns: 12 -------------------------------------->|

9.6 计算 Masked Attention Score

|---------------------------------------------------------------------------------------------|
|       |   Masked  Attention Score Matrix shape (12 x 12)                                    |
| Token |-------------------------------------------------------------------------------------|
|       |   It     âĢ     Ļ      s     Ġvery  Ġhot    Ġin  Ġsummer  .     ĠSw    imming  Ġis  |
|-------|-------------------------------------------------------------------------------------|----
|It     | [ 0.14,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|âĢ     | [ 0.70, -0.93,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|Ļ      | [-0.60, -1.81, -1.99,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|s      | [-0.46, -1.33, -1.60, -2.65,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|Ġvery  | [ 0.29, -1.42, -1.77, -1.15, -0.94,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|Ġhot   | [ 0.03, -0.68, -0.59, -0.95, -1.78, -0.10,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  12
|Ġin    | [-0.71, -1.72, -1.53, -2.18, -1.67, -1.93, -3.41,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  rows
|Ġsummer| [-0.34, -1.49, -1.35, -1.31, -1.12, -0.89, -1.49, -1.11,  -inf,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|.      | [-0.89, -1.73, -2.67, -2.80, -2.45, -2.37, -4.39, -2.33, -4.42,  -inf,  -inf,  -inf]|  |
|ĠSw    | [-0.05, -1.15, -1.76, -1.15, -1.68, -0.74, -1.15, -1.35, -1.36, -1.29,  -inf,  -inf]|  |
|imming | [-0.02, -1.65, -0.87, -0.35, -1.18, -0.65, -0.33, -1.25, -0.38, -1.68, -2.15,  -inf]|  |
|Ġis    | [-0.97, -2.03, -2.56, -2.94, -1.96, -2.71, -4.07, -2.46, -3.51, -2.68, -1.88, -2.99]|  |
|-------|-------------------------------------------------------------------------------------|----
        |<-------------------------------- columns: 12 -------------------------------------->|

9.7 计算 Softmax Masked Attention Score

|-------------------------------------------------------------------------------------|
|       |  Softmax Masked  Attention Score Matrix shape (12 x 12)                     |
| Token |-----------------------------------------------------------------------------|
|       |  It    âĢ    Ļ     s     Ġvery  Ġhot  Ġin  Ġsummer  .   ĠSw   imming  Ġis   |
|-------|-----------------------------------------------------------------------------|
|It     | [1.00  0.00  0.00  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |
|âĢ     | [0.84  0.16  0.00  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |                  V [:3]  shape (12 x 64)
|Ļ      | [0.65  0.19  0.16  0.00   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |              --------------------------------
|s      | [0.54  0.23  0.17  0.06   0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |              [ 0.0452,  0.0628,  0.1463, ...]
|Ġvery  | [0.54  0.10  0.07  0.13   0.16  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |              [-0.1361,  0.1379,  0.0150, ...]
|Ġhot   | [0.29  0.14  0.16  0.11   0.05  0.25  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  12             [ 0.0039, -0.1295, -0.0311, ...]
|Ġin    | [0.36  0.13  0.16  0.08   0.14  0.11  0.02  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00]|  rows           [-0.0391,  0.0581,  0.0511, ...]
|Ġsummer| [0.26  0.08  0.09  0.10   0.12  0.15  0.08  0.12  0.00  0.00  0.00  0.00]|  |              [ 0.0963,  0.3563, -0.1477, ...]
|.      | [0.40  0.17  0.07  0.06   0.08  0.09  0.01  0.10  0.01  0.00  0.00  0.00]|  |                ...
|ĠSw    | [0.27  0.09  0.05  0.09   0.05  0.14  0.09  0.07  0.07  0.08  0.00  0.00]|  |              [ 0.2759, -0.2783,  0.3240, ...]
|imming | [0.19  0.04  0.08  0.14   0.06  0.10  0.14  0.06  0.13  0.04  0.02  0.00]|  |              --------------------------------
|Ġis    | [0.30  0.10  0.06  0.04   0.11  0.05  0.01  0.07  0.02  0.05  0.12  0.04]|  |              |<------- columns: 64 ------->|
|-------|-----------------------------------------------------------------------------|
        |<-------------------------------- columns: 12 ------------------------------>|

9.8 计算 Contextual Embeddings

Token      | Contextual Embedding (12 x 768)
--------------------------------------------
It         | [ 0.0452,  0.0628,  0.1463,...]
âĢ         | [ 0.0153,  0.0752,  0.1247,...]
Ļ          | [ 0.0034,  0.0464,  0.0923,...]
s          | [-0.0082,  0.0464,  0.0801,...]
Ġvery      | [ 0.0218,  0.1029,  0.0621,...]
Ġhot       | [ 0.0327,  0.0892,  0.0409,...]
Ġin        | [ 0.0249,  0.0964,  0.0329,...]
Ġsummer    | [ 0.0583,  0.1195,  0.0068,...]
.          | [ 0.0334,  0.1100,  0.0366,...]
ĠSw        | [ 0.0086,  0.0846,  0.0074,...]
imming     | [-0.0049,  0.0841, -0.0339,...]
Ġis        | [ 0.0410,  0.0706,  0.0077,...]

10. 其他

上述流程详述了 LLM 模型中 Attention 计算的核心部分。也有一些细节是省略了的，例如，

• 在GPT2中，“线性变换”是有一个“截距”(Bias)的，所以也可以称为一个“仿射变换”，即在一个线性变换基础上，再进行一次平移；
• 在GTP2中，Attention计算都是多层、多头的，本文主要以Layer 0 / Head 0 为例进行介绍；
• 在生成最终的“Contextual Embeddings”之前，通常还需要一个MLP层（全连接的前馈神经网络）等，本文为了连贯性，忽略了该部分。

总结一下，本文需要的前置知识包括：矩阵基本运算、矩阵与线性变换、SVD 分解/特征值特征向量、神经网络基础、深度学习基础等。

注

• [1] 多头注意情况可能是 \(d \times \frac{d}{h} \)
• [2] 对于满秩方阵也可以使用“特征值/特征向量”的方式去理解
• [3] 在 GPT 2 中，一个 Attention 层的计算，会分为“多头”去计算；并在计算后，还会再经过一个 MLP 层